Python 如何使用蒙特卡罗模拟期权定价

本文主要介绍Python如何使用蒙特卡罗模拟期权定价的相关知识。内容详细易懂，操作简单快捷，具有一定的参考价值。相信看完这篇文章，在Python定价文章中如何使用蒙特卡洛模拟选项会有收获，一起来看看吧。

期权是一种合同，它赋予买方在未来某个时间点以特定价格购买或出售资产的权利。这些被称为衍生品的合约出于多种原因进行交易，但其中一个常见用途是对冲资产价格以不利方式变动时产生的风险。

期权，买或卖的权利，也有价格。 Black Scholes 模型描述了一种确定期权公平价格的方法，但还有许多其他方法可以确定价格。

选项及其价值

欧式期权只能在未来预定日期（称为到期日）之后使用（或行权），可以用字母 T 表示。

看涨期权赋予期权持有人以已知价格购买的权利。如果资产的到期价格（以 ST 表示）高于行使价 K，则看涨期权赚钱，否则它一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同样，看跌期权是出售资产的权利。看跌期权在到期日资产价格 ST 低于行使价 K 时赚钱，否则一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是看跌期权和看涨期权到期时的收益图。我们的资产价格在 x 轴上，回报在 y 轴上。

风险中性估值

为了使用蒙特卡洛模拟为期权定价，我们使用风险中性估值，其中衍生品的公允价值是其未来收益的预期值。

因此，在到期前的任何日期，表示为 t，期权的价值是其到期时预期收益的现值，T。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在风险中性估值下，我们假设标的资产将获得平均无风险利率。因此，为了计算任何时间 t 的期权收益，我们以该利率折现收益。现在我们有了计算现值 PV 的方法。

在上面的公式中，所有这些变量都是已知的，除了 St，所以我们的模拟将提供 St。

为了给期权定价，我们将创建一个模拟，为资产 St 的最终价格提供多个观察值。通过平均所有回报，我们得到回报的预期值。

资产价格建模

Black Scholes 模型中使用的股票价格行为模型假设我们有一个已知的波动率，我们有一个无风险利率，并且资产的价格遵循几何布朗运动。

几何布朗运动是一个随机过程，其中随机变量的对数服从正态分布。这种类型的过程通过对数正态分布分配价格。

所以现在我们有一种方法可以计算资产在时间 T 的价格：

为此，我们需要知道：

r 是我们想要折现的无风险利率。 σ 是波动率，股票收益的年化标准差。 (T-t) 为我们提供了年化的到期时间。例如，对于 30 天期权，这将是 30/365=0.082...S 是时间 t 的标的资产的价格。 ε 是我们的随机值。它的分布必须是标准正态分布（均值 0.0，标准差 1.0）

期权定价

为了模拟过程中的期权定价，我们生成了许多资产可能到期的价格，计算每个生成价格的期权收益，取平均值，并折现最终价值。

在创建完整的模拟之前，我们将通过一个 10 次运行的小示例。假设我们有一个具有以下价值的资产：S = 100.$00 和 σ = 20%，我们想为半年到期的看涨期权定价，行使价为 $110.00，我们的无风险利率为 1%。

贴现随机可变资产价格收益率

1.3620

p>

120.64

10.64

10.58

-0.7784

89.13

0.00

0.00

-0.9408

87.11

0.00

0.00

p>

0.2227

102.69

0.00

0.00

-0.0364

98.99

0.00

0.00

-1.4303

81.28

0.00

0.00

-0.8306

88.47

0.00

0.00

1.5155

123.28

13.28

13.21

-1.5679

79.71

0.00

0.00

-1.6718

78.55

0.00

0.00

平均折现收益率值得出我们的看涨期权价格为2.$38。我们执行的模拟越多，价格就越准确。

现在我们可以看到模拟如何生成价格，让我们构建一个小的 Python 脚本，它可以为期权定价并查看它是否与真实的东西相匹配。让我们看一个实际的例子。

为实物期权定价

在下图中，我们有一份执行价格为 86 美元0.00 的 Google 看涨期权报价，到期日为 2013 年 9 月 21 日。我们还可以看到它的最后交易价格为 $14.$50。这个例子在尝试定价时为我们提供了一个期权的目标价格。

此处未指定波动率、无风险利率、当前股价。波动率是一个相当复杂的话题，因此出于本文的目的，我们假设我们知道这个特定选项的波动率为 20.76%。通过查看各种来源可以找到该股票的当前价格为85美元7.29美元。

对于无风险利率，我们可以使用与我们选择到期的相同的美国 LIBOR 利率；我们的期权在三周左右到期，由于没有三周利率，我们将使用两周的利率近似值期权合约怎么赚钱，即0.14%。

接下来是Python代码的实现，首先我们将写下我们将如何生成资产价格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我们知道所有的输入值期权合约怎么赚钱，所以我们可以这样设置它们：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

现在我们需要能够计算这个生成价格的回报。回想一下，我们说过看涨期权在到期时价值 ST-K 或 0，我们将其表示为一个函数并将其应用于我们生成的资产的价格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)
print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模拟

现在让我们组合模块并为 Google 选项定价。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt
def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))
def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)
S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)
for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )
price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

运行程序的结果如下，与我们在市场上观察到的谷歌选项的价格相符。

价格：14.5069

需要注意的是，我们刚刚计算的谷歌期权实际上是美式期权，我们只是将其定价为欧式期权，没有考虑期权可以提前行权的可能性，但我们还是得出了正确的价格.

这是因为文章中对 Google 等非派息股票的美式看涨期权的价格与欧式看涨期权的价格相同。从理论上讲，当股票不支付股息时，提前行权并不是最佳选择。如果期权从未提前行权，美式期权的价格可以像欧式期权一样计算。

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